Алгебраическое уравнение

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение, многочленное уравнение) — уравнение вида

$P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,$

где $P$ — многочлен от переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена $P$ обычно берутся из некоторого поля ${F}$, и тогда уравнение $P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0$ называется алгебраическим уравнением над полем ${F}$.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена $P$.

Например, уравнение

$y^{4}+{\frac {xy}{2}}+y^{2}z^{5}+x^{3}-xy^{2}+3x^{2}-1=0$

является алгебраическим уравнением 7-й степени от 3 переменных (с 3 неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения

Значения переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры алгебраических уравнений

• Алгебраическое уравнение с одним неизвестным — уравнение вида $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}=0,$ где $n$ — натуральное число.
• Линейное уравнение
  • от одной переменной: $ax+b=0,\quad a\neq 0.$
  • от нескольких переменных: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0.$
• Квадратное уравнение
  • от одной переменной: $ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0.$
• Кубическое уравнение
  • от одной переменной: $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0.$
• Уравнение четвёртой степени
  • от одной переменной: $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.$
• Уравнение пятой степени
  • от одной переменной: $ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,\quad a\neq 0.$
• Уравнение шестой степени
  • от одной переменной: $ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0,\quad a\neq 0.$
• Возвратное уравнение — алгебраические уравнения вида: $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0,$ коэффициенты которых, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если $a_{n-k}=a_{k},$, при $k=0,1,\ldots ,n$.

См. также

• Алгебраическая функция
• Основная теорема алгебры
• Ряд Пюизё
• Трансцендентное уравнение

Ссылки

• Algebraic Equation Архивная копия от 17 июля 2019 на Wayback Machine на MathWorld (англ.)